Sprawdzian z rachunku prawdopodobieństwa Suma punktów: 28. Sprawdzian z rachunku prawdopodobieństwa. Zadanie 1. (1 pkt) Pan Jakub ma 4 marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszulę. A) 280 B) 28 C) 70 D) 21. W tym odcinku pokazuję jak rozwiązać zadania dot. rachunku prawdopodobieństwa na poziomie matury podstawowej.MIŁEGO OGLĄDANIA !**Subskrybuj kanał by być na b 25 listopada 2023, sobota: ilość produktów w dziale książki: 92 466, Zobacz mapę kategorii: książki Jesteś w kategorii: Podręczniki / Podręczniki akademickie / Matematyka / Rachunek prawdopodobieństwa - najciekawsze tematy: podręczniki rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, rachunek prawdopodobieństwa dla studentów politechniki, uniwersytetu, wyższych uczelni Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Serwis dla miłośników książek. Opinie, recenzje książek i oceny czytelników, wirtualna biblioteczka i rekomendacje książek. Tysiące opinii, dobrych książek i nowości wydawniczych czeka na Ciebie! Web zbiór zadań dla klasy 8 szkoły podstawowej zbiór zadań zawiera różnorodne zadania: Są to wszystkie zadania opublikowane w tym. Rachunek prawdopodobieństwa pewien francuski szlachcic, kawaler de méré, żyjący w xvii wieku, chcąc wygrywać w kości, zwrócił się do swojego przyjaciela,. Chodzę do 2 klasy i mam 100. Vay Tiền Trả Góp 24 Tháng. R. Buckminster Fuller: Historia (i tajemnica) wszechświata. Dramat D. W. Jacobs na podstawie życia, pracy i tekstów R. Buckminstera Fullera - D. W. Jacobs teatr R. U. R. - Karel Čapek utwór dramatyczny (dramat, komedia, tragedia) - REMiniscencje - Tony Fletcher muzyka | Fiction: An Alternative Biography - David Buckley biografia/autobiografia/pamiętnik R@ - Elżbieta Śnieżkowska-Bielak literatura współczesna Rabarbar - René-Victor Pilhes literatura współczesna Rabaty, premie i zwroty towarów - w podatkach i rachunkowości Inne Rabbi, który odnalazł Mesjasza - Carl Gallups literatura faktu Rabbit-Proof Fence - Doris Pilkington Garimara literatura faktu RabbitMQ Cookbook - Gabriele Santomaggio, Sigismondo Boschi informatyka i matematyka Rąbiń - Emilian Prałat historia Rabin bez głowy i inne opowieści z Chełma - Menachem Kipnis satyra Rabin i CEO. Wskazówki dla lidera biznesu XXI wieku - Thomas D. Zweifel, Aaron L. Raskin biznes, finanse Rabin Markus Jastrow i jego wizja reformy judaizmu. Studium z dziejów judaizmu w XIX wieku - Michał Galas religia Rabin rozmawia z Jezusem - Jacob Neusner religia Rabin Szymon Dankowicz (1834–1910) – życie i działalność - Alicja Maślak-Maciejewska biografia/autobiografia/pamiętnik Rabin z 84 ulicy - Warren Kozak biografia/autobiografia/pamiętnik Rabindranath Tagore. Poezje wybrane - Rabindranath Tagore poezja Rabka - praca zbiorowa turystyka, mapy, atlasy Rabka i Dolina Raby - Stanisław Pagaczewski turystyka, mapy, atlasy Rabka Zdrój i okolice. Jordanów, Spytkowice, Raba Wyżna, Nowy Targ, Mszana Dolna, Gorczański Park Narodowy. Mapa turystyczna. 1: 40 000. Compass turystyka, mapy, atlasy Rabowanie Egipcjan - Daniel Kalinowski religia Rabsztyn wczoraj i dziś - Jacek Sypień turystyka, mapy, atlasy Rabunek - Maciej Kuczyński literatura współczesna Rabunek a Prawo - Frédéric Bastiat publicystyka literacka i eseje Rabusie w sanktuarium - Andrzej Irski literatura młodzieżowa Rabusie! - praca zbiorowa interaktywne, obrazkowe, edukacyjne Racal-Redac (Mały Leksykon) - Kagan Mariusz informatyka i matematyka Race - Charles Pierre Baudelaire poezja Races of Eberron hobby Rach-ciach-ciach, czyli pchamy, pchamy! - Krzysztof Wyrzykowski, Tomasz Jaroński biografia/autobiografia/pamiętnik Rachab - Debora Sianożęcka religia Rachab - Francine Rivers historyczna Rachab. Odnajdź swoje miejsce w rodowodzie Jezusa - Debora Sianożęcka filozofia i etyka Rachatłukum - Jan Wolkers literatura współczesna Rachel Khoo's Kitchen Notebook - Rachel Khoo kulinaria, przepisy kulinarne Rachel's Shoe - Peter Lihou literatura współczesna Rachela Auerbach, Pisma z getta warszawskiego - Karolina Szymaniak biografia/autobiografia/pamiętnik Rachmaninow - Mikołaj Bażanow biografia/autobiografia/pamiętnik Rachmaninow - symfonik nieznany. Związki intertekstualne w twórczości symfonicznej Sergiusza Rachmaninowa - Iwona Hanna Świdnicka muzyka Rachuba świata - Daniel Kehlmann literatura współczesna Rachunek - Bogdan Nurzej literatura współczesna Rachunek - Jonas Karlsson literatura współczesna Rachunek - Jonas Karlsson literatura współczesna Rachunek - Marek Nowakowski poezja Rachunek błędów dla inżynierów - Zbigniew Kotulski, Wojciech Szczepiński technika Rachunek dla dorosłego - Jan Twardowski poezja Rachunek efektywności inwestycji - Waldemar Rogowski biznes, finanse Rachunek efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych - Waldemar Rogowski biznes, finanse Rachunek efektywności rzeczowych przedsięwzięć inwestycyjnych - Lesław Martan biznes, finanse Rachunek efektywności systemu informacyjnego rachunkowości - Adam Bujak biznes, finanse Rachunek kosztów działań sterowanych czasem - Robert S. Kaplan, Steven R. Anderson biznes, finanse Rachunek kosztów i rachunkowość zarządcza - Irena Sobańska biznes, finanse Rachunek kosztów i rachunkowość zarządcza. Pojęcia, problemy, zadania - Anna Karmańska biznes, finanse Rachunek kosztów i wyników w przedsiębiorstwie. Zbiór zadań z rozwiązaniami - Jerzy Kuchmacz biznes, finanse Rachunek kosztów i wyników. Wybrane problemy podejmowania decyzji zarządczych - Jan Turyna, Beata Pułaska-Turyna biznes, finanse Rachunek kosztów jakości - Marlena Ciechan-Kujawa biznes, finanse Rachunek kosztów logistyki w zarządzaniu przedsiębiorstwem - Robert Kowalak, Michał Biernacki biznes, finanse Rachunek kosztów przedsiębiorstwa - Edward Nowak biznes, finanse RACHUNEK KOSZTÓW W JEDNOSTKACH GOSPODARCZYCH PODEJŚCIE - Edward Nowak biznes, finanse Rachunek kosztów w zarządzaniu jednostkami badawczo-rozwojowymi - Agnieszka Nóżk biznes, finanse Rachunek kosztów w zarządzaniu przedsiębiorstwem biznes, finanse Rachunek kosztów, podejście operacyjne i strategiczne - Irena Sobańska biznes, finanse Rachunek kosztów, podstawy rachunkowości zarządczej i zarządzania finansami - Małgorzata Trentowska biznes, finanse Rachunek kosztów. Wybrane zagadnienia w teorii i przykładach nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunek naszych słabości - Andrzej Kijowski publicystyka literacka i eseje Rachunek opłacalności inwestowania - Edward Nowak biznes, finanse Rachunek pamięci publicystyka literacka i eseje Rachunek prawdopodobieństwa - Wiesław Szlenk informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa - Wiesław Szlenk informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego - Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych, zbiór zadań dla uczniów szkół ponadpodstawowych i studentów - Włodziemierz Łenski, Andrzej Patkowski informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa dla studentów studiów ekonomicznych - Sabina Denkowska, Monika Papież informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. I informatyka i matematyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach cz. II informatyka i matematyka Rachunek przepływów pieniężnych - Paweł Pabianiak biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych - Waldemar Gos biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych obrazuje kondycję przedsiębiorstwa - Katarzyna Trzpioła dr biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w praktyce - Marek Lachmirowicz biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w teorii i praktyce - Karol Wajszczuk biznes, finanse Rachunek przepływów pieniężnych w teorii i praktyce. Program komputerowy Cash Flow System - Karol Wajszczuk Inne Rachunek przetrwania - Barbara Wiza, Janusz Wiza biografia/autobiografia/pamiętnik Rachunek różniczkowy i całkowy - Franciszek Leja informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej - Kazimierz Kuratowski informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych - Franciszek Leja informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 1 - Stefan Banach informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom 2 - Stefan Banach informatyka i matematyka Rachunek rózniczkowy i całkowy, tom 3 - Grigorij Fichtenholz informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, tom III - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz informatyka i matematyka Rachunek różniczkowy i całkowy, - Grigorij Michajłowicz Fichtenholz nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej - Kazimierz Kuratowski informatyka i matematyka Rachunek skupienia - Agnieszka Złota poezja Rachunek sumienia - Igor Kozak religia Rachunek sumienia - Józef Kozłowski SJ religia Rachunek sumienia - Piotr Piątak literatura współczesna Rachunek sumienia - szczegółowy i ogólny. Jak codziennie ulepszać siebie, relacje z Bogiem i drugim człowiekiem - Krzysztof Osuch SJ religia Rachunek sumienia dla dorosłych - Bonifacy Knapik religia Rachunek sumienia dla dorosłych - Lech Kontkowski, George A. Aschenbrenner religia Rachunek sumienia dla dzieci - Jan Paszulewicz ks. religia Rachunek sumienia dla młodzieży - Zbigniew Paweł Maciejewski ks. religia Rachunek sumienia Jak codziennie ulepszać siebie, relacje z Bogiem i drugim człowiekiem - Krzysztof Osuch SJ religia Rachunek sumienia z mistrzami chrześcijańskiej duchowości - Michał Wilk religia Rachunek sumienia z Ojcem Pio - Robert Krawiec religia Rachunek sumienia. Poradnik dla spowiadających się. - Marko Ivan Rupnik religia Rachunek wyników - Edward Nowak biznes, finanse Rachunek zbrodni - Edmund Męclewski historia Rachunek zemsty - Sam Bourne literatura współczesna Rachunek zysków i strat - Ewa Dreliszak, Dorota Kania biznes, finanse RACHUNEK zYSKóW I STRAT - Irena Kondratowicz biznes, finanse Rachunki geodezyjne - Stefan Hausbrandt technika Rachunki włóczęgi - Jarosław Iwaszkiewicz publicystyka literacka i eseje Rachunkowoać finansowa Kompendium wiedzy - Anna Kuzior, Małgorzata Rówińska biznes, finanse Rachunkowość zasady prowadzenia według znowelizowanych regulacji krajowych i międzynarodowych cz. II - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość + CD - Wioletta Turowska, Adam Węgrzyn nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Rachunkowość 2008. Meritum - praca zbiorowa biznes, finanse Rachunkowość a zintegrowane zarządzanie przedsiębiorstwem - Edward Nowak, Adriana Kaszuba-Perz biznes, finanse Rachunkowość bankowa - Maria Niewiadoma, Danuta Mińska biznes, finanse Rachunkowość Bankowa - Zygmunt Miętki biznes, finanse Rachunkowość bankowa po zmianach - Włodzimierz Wąsowski, Ewa Popowska biznes, finanse Rachunkowość bankowa. Podręcznik - Kira Jankowska, Kazimierz Baliński biznes, finanse Rachunkowość budżetowa 2005 zbiór przepisów z wprowadzeniem - Halina Gajoch biznes, finanse Rachunkowość część 1 - Anna Kuczyńska-Cesarz biznes, finanse Rachunkowość dla ciebie Podstawy rachunkowości - Piotr Szczypa biznes, finanse Rachunkowość dla ciebie rachunkowość od podstaw biznes, finanse Rachunkowość dla menadżerów - Wiesław Janik biznes, finanse Rachunkowość dla menedżerów biznes, finanse Rachunkowość Finansowa Zbiór Zadań - Maria Kiedrowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa - Elżbieta Kalwasińska, Danuta Maciejowska biznes, finanse Rachunkowość Finansowa - Jan Turyna biznes, finanse Rachunkowość finansowa - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość finansowa aktywów kompetecyjnych i kapitału intelektualnego. Nowy dział rachunkowości - Lesław Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość finansowa i podatkowa - T. Cebrowska poradniki Rachunkowość finansowa i podatkowa - Teresa Cebrowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw - Józef Aleszczyk biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach - Teresa Moss, Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach 2 - Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość finansowa od podstaw w zadaniach z rozwiązaniami - Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw handlowych. Obrót kra - Teresa Martyniuk biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw po przystąpieniu Polski do Wspólnoty Europejskiej - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość finansowa przedsiębiorstw według polskiego prawa bilansowego oraz Dyrektyw UE i MSR MSSF Część I - Kazimierz Sawicki biznes, finanse Rachunkowość finansowa w przykładach - Irena Olchowicz, Agnieszka Tłaczała biznes, finanse Rachunkowość finansowa w przykładach według ustawy o rachunkowości i MSR. Wydanie 1 - Irena Olchowicz, Agnieszka Tłaczała biznes, finanse Rachunkowość finansowa w przykładach według ustawy o rachunkowości i MSR. Wydanie 2 - Irena Olchowicz, Agnieszka Tłaczała biznes, finanse Rachunkowość finansowa w teorii i praktyce - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość finansowa w zadaniach i przykładach - Elżbieta Marcinkowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa z elementami rachunku kosztów i sprawozdawczości finansowej biznes, finanse Rachunkowość finansowa z uwzględnieniem MSSF biznes, finanse Rachunkowość finansowa z uwzględnieniem MSSF - Józef Pfaff Inne Rachunkowość finansowa. Aktywa trwałe, koszty działalności i ich rozliczenie, kalkulacja kosztów - Bożena Padurek, Małgorzata Szpleter Literatura popularnonaukowa Rachunkowość Finansowa. Część III. Produkty pracy i ich sprzedaż, obrót towarowy, inwentaryzacja, źródła finansowania zasobów majątkowych, pozostała działalność operacyjna, działal. biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Materiały pomocnicze do wykładów i ćwiczeń - Maria Kiedrowska biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Podręcznik. Ujęcie sprawozdawcze i ewidencyjne - Ewa Walińska biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Przewodnik ćwiczeniowy - Ireneusz Wieczorek biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wybrane zagadnienia biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wydanie 1 - Anna Karmańska, Maria Gmytrasiewicz biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Wydanie drugie zaktualizowane i rozszerzone - Anna Karmańska biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Zbiór zadań. - Maria Gmytrasiewicz biznes, finanse Rachunkowość finansowa. Zbiór zadań. Ujęcie sprawozdawcze i ewidencyjne - Ewa Walińska biznes, finanse Rachunkowość fundacji, stowarzyszeń i innych jednostek nieprowadzących działalności gospodarczej - Kazimiera Winiarska biznes, finanse Rachunkowość fundacji, stowarzyszeń i organizacji pożytku publicznego - Wioletta Dworowska biznes, finanse Rachunkowość grup kapitałowych - Marzena Remlein biznes, finanse Rachunkowość handlowa. Część 1 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość handlowa. Część 2 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość handlowa. Część 3 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość i analiza ekonomiczna w indywidualnym gospodarstwie rolnym - Lech Goraj, Stanisław Mańko biznes, finanse Rachunkowość i analiza finansowa dla inżynierów - Bożena Nadolna technika Rachunkowość i budżetowanie w zarządzaniu finansami gminy - Marian Walczak, Magdalena Kowalczyk biznes, finanse Rachunkowość i finanse grupy kapitałowej - Jan Turyna, Jan Rak biznes, finanse Rachunkowość i finanse podmiotów gospodarczych - Tomasz Piątek, Bernacki Andrzej biznes, finanse Rachunkowość i finanse podmiotów gospodarczych w erze informacji - Wiesława Caputa biznes, finanse Rachunkowość i podatki w instytucjach kultury - Ewa Ostapowicz nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa według polskiego prawa bilansowego - Elżbieta Kalwasińska, Danuta Maciejowska Inne Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa zakładów opieki zdrowotnej - praca zbiorowa biznes, finanse Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa. Meritum - Ewa Walińska nauki społeczne (psychologia, socjologia, itd.) Rachunkowość i sprawozdawczość finansowa. Zbiór ćwiczeń oraz schematy ewidencji operacji gospodarczych - Kazimierz Grygutis biznes, finanse Rachunkowość i zarządzanie kapitałem intelektualnym. Koncepcje i praktyka - Alicja JarugowaJustyna Fijałkowska biznes, finanse Rachunkowość instrumentów finansowych biznes, finanse Rachunkowość jednostek budżetowych i gospodarki pozabudżetowej - Anna Zysnarska biznes, finanse Rachunkowość jednostek oświatowych 2016 - Świderek Izabela biznes, finanse Rachunkowość jednostek sektora finansów publicznych i instytucji finansowych - Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość Kurs podstawowy - Edward Nowak biznes, finanse Rachunkowość leasingu na tle regulacji - Mikołaj Turzyński biznes, finanse Rachunkowość majątku i kapitałów przedsiębiorstwa problemy wybrane - Ryszard Kamiński biznes, finanse Rachunkowość małych firm - Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość małych firm według wymogów funduszy unijnych - Marcin Osikowicz biznes, finanse Rachunkowość małych i średnich przedsiębiorstw 2009 - Roman Niemczyk biznes, finanse Rachunkowość małych przedsiębiorstw - Kazimierz Sawicki, Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość międzynarodowa - Jerzy Gierusz, Lech Bednarski biznes, finanse Rachunkowość można zrozumieć - Jarosław Tuczko biznes, finanse Rachunkowość na tle rozwiązań międzynarodowych - Ewa Radawiecka, Monika Foremna-Pilarska biznes, finanse Rachunkowość na tle rozwiązań międzynarodowych. Wydanie 2 - Ewa Radawiecka, Monika Foremna-Pilarska biznes, finanse Rachunkowość nie tylko dla księgowych - Teresa Kiziukiewicz biznes, finanse Rachunkowość od podstaw zbiór rozwiązań - Danuta Małkowska biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Danuta Małkowska biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Dorota Dobija biznes, finanse Rachunkowość od podstaw - Jan Matuszewicz biznes, finanse Rachunkowość od podstaw. Zbiór zadań z komentarzem z rozwiązaniami - Danuta Małkowska biznes, finanse Rachunkowość odpowiedzialności społecznej w kształtowaniu zasad nadzoru korporacyjnego - Gabrusewicz Tomasz nauki przyrodnicze (fizyka, chemia, biologia, itd.) Własności prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego \(A\) jest zawsze liczbą z przedziału \(\langle 0; 1 \rangle\). \[0\le P(A)\le 1\] Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe \(1\). \[P(\Omega )=1\] Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe \(0\). \[P(\emptyset )=0\] Przydatne wzory Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: \[P(A')=1-P(A)\] Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń \[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\] Prawdopodobieństwo warunkowe Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia \(A\) pod warunkiem zajścia zdarzenia \(B\) liczymy ze wzoru: \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\] gdzie \(P(B)>0\) Prawdopodobieństwo całkowite Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_n)\cdot P(B_n)\] Wzór Bayesa Jeżeli zdarzenia \(B_1, B_2, ..., B_n\) są parami rozłączne oraz mają prawdopodobieństwa dodatnie, które sumują się do jedynki, to dla dowolnego zdarzenia \(A\) zachodzi wzór: \[P(B_k|A)=\frac{P(A|B_k)\cdot P(B_k)}{P(A)}\] Schemat Bernoulliego W schemacie Bernoulliego prawdopodobieństwo uzyskania \(k\) sukcesów w \(n\) próbach można obliczyć ze wzoru: \[P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\] gdzie \(p\) - to prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie Narysuj sobie drzewko. Dwie gałęzie (bo są dwie opcje: dziewczyna i chłopak), cztery piętra (losujemy cztery osoby)1. 25 osóbPrawdopodobieństwo D (dziewczyny): 15/25Prawdopodobieństwo C (chłopca): 10/252 piętroLosujemy spośród 24 osób (jedna już wylosowaliśmy)DD (dziewczyna po dziewczynie) 15/25 * 14/24 (najpierw dziewczyn było 15, a po 1. losowaniu zostało 14)DC (chłopak po dziewczynie): 15/25 * 10/24 (najpierw dziewczyn było 15, potem chłopcw było 10)CD (dziewczyna po chłopaku): 10/25 * 15/24CC (chłopak po chłopaku): 10/25 * 9/243. piętroDDD: 15/25 * 14/24 * 13/23DDC: 15/25 * 14/24 * 10/23DCD: 15/25 * 10/24 * 14/23DCC: 15/25 * 10/24 * 9*23CDD: 10/25 * 15/24 * 14/24CDC: 10/25 * 15/24 * 9/23CCD: 10/25 * 9/24 * 15/23CCC: 10/25 * 9/24 * 8/234. piętro zrób samodzielnieInteresują cię takie układy dla dokładnie 2 dziewczynek:DDCCDCDCCDCDCCDDCDDCI dla dokładnie jednego chłopca:CDDDDCDDDDCDDDDCPasujące gałęzie + DCDD + DDCD + DDDCda ci prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 1 chłopca I. Doświadczenia losowe Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: - można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach, - wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp. II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą . nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi. W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów: Przykłady 1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki . Opisując to doświadczenie przyjmujemy: 2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu: gdzie to liczba wyrzuconych oczek. 3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde to uporządkowana para: (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu) lub (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce) lub krócej 4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde to uporządkowana para: (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie) lub (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej). W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach. 5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia, III. Zdarzenia Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Częściej chodzi o to, czy należy do określonego podzbioru przestrzeni Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek. Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych . Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem. Np. gdy A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6}, B - wypadła liczba oczek nie większa niż 4, B = {1,2,3,4}, C - wypadła szóstka, C = {6}. Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu A. Podzbiorami są też: - zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier), - cała przestrzeń przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ). Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli , to i zachodzi zdarzenie przeciwne do A. A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A. Zdarzeniem przeciwnym do jest i odwrotnie. IV. Działania na zdarzeniach Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich. nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B"). O zdarzeniach A i B takich, że mówimy, że wykluczają się. nazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B"). Jeżeli , to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B. Czasami o zdarzeniach wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast w terminach rachunku prawdopodobieństwa. V. Definicja prawdopodobieństwa Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem: Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp. Model uogólniony Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero: 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe. Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą, A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz. Wtedy A' - wypadły same reszki. i 4. Dla każdego zdarzenia A: 5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: 6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli to: 7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B": Stąd wniosek, że , a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5. VII. Prawdopodobieństwo warunkowe Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej (sprzyjają A i B). Przykłady 1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły (zdarzenie A)? . Można było też zastosować wzór: , , , , 2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)? Zastosujmy wzór Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że Teraz prościutko stosując wzór Ze wzoru mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń: Korzystając z tego można pójść dalej itd. Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew. VIII. Prawdopodobieństwo całkowite Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają, a ich suma daje nazywamy zupełnym układem zdarzeń. Formalnie oznacza to, że czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni . Na diagramie wygląda to np. tak Weźmy teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie. Widać, że: Wszystkie zdarzenia są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy: Ogólnie, jeżeli stanowi układ zupełny zdarzeń to Uwaga. Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni W takim razie IX. Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji: a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A. Uwaga. Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B’, A’ i B, A’ i B’. X. Schemat Bernoulliego Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego. Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako a prawdopodobieństwo porażki Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie. Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego. Przykłady schematu prób Bernolulliego 1. -krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła a porażka jest wypadnięcie reszki 2. badanie urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces to ,,urządzenie jest sprawne", 3. -krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki , 4. kupno losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty (porażka). Oznaczmy przez liczbę sukcesów w schemacie prób Bernouliiego. Prawdopodobieństwo zajścia sukcesów w schemacie prób Bernoulliego , z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie , wynosi Przykłady 1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia: a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę, b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki, c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę. a) b) , gdzie - otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te wykluczają się. Stąd dalej wynika, że c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd XI. Drzewa Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń. Przykład takiego (problemu) doświadczenia. Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą? W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych! Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem. Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy). Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C. Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią. Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ? Oczywiście to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi Jest to - oczywiście, zaszły zdarzenia . Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. . No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem. Podsumujmy krótko. zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół, krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół, węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia, gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie, prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa. Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu Oznaczamy zdarzenia: A - na kostce wypadło 6 oczek, A' - na kostce nie wypadło 6 oczek, B - wyciągnięto kulę białą, B' = C - wyciągnięto kule czarną. , lub inaczej Jeszcze jeden przykład W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna? Urna przed losowaniem: Oznaczamy zdarzenia: - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą, - w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną. XII. Wzór Bayesa Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg. Typowe przykłady 1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? 2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A? Wzór Bayesa Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni ). Niech A będzie dowolnym zdarzeniem takim, że P(A)>0. Wtedy dla każdego i mamy gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite) Np. na diagramie Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A. Rozwiązanie przykładu 1. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów, B1 - rzucono monetą prawidłową, B2 - rzucono monetą z dwoma orłami. B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, , bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i B2 innych możliwości nie ma. gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły. - prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu więc bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła. Drzewo dla tego doświadczenia Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez , ... Tak rozwiążemy przykład 2. Oznaczamy i opisujemy zdarzenia: D - urządzenie jest wadliwe, A - urządzenie kupiono od dostawcy A, B - urządzenie kupiono od dostawcy B, C - urządzenie kupiono od dostawcy C. W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo, to Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe i odpowiednio Drzewo dla tego doświadczenia Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%). rachunek prawdopodobieństwa - podstawowe informacje - matematyka, matura MATERIAŁ MATURALNY > prawdopodobieństwo PODSTAWOWE INFORMACJE Prawdopodobieństwo obliczamy, gdy mamy do czynienia ze zdarzeniami losowymi. Przykładem może być uzyskanie parzystej liczby oczek podczas rzutu kostką. Zdarzenie elementarne – jedno konkretne zdarzenie. Oznaczamy symbolem: Przestrzeń zdarzeń elementarnych – to zbiór wszystkich zdarzeń, jakie możemy uzyskać. Oznaczamy symbolem: Zdarzenie losowe to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, spełniających dane kryterium Oznaczamy je dużą literą alfabetu (A, B, C…). Dla przykładu rzutu kostką: O wiele bardziej istotne od ustalenia elementów obu zbiorów, jest określenie ile elementów zawiera każdy z nich. Tę wartość nazywamy mocą zbioru. Podając liczbę elementów, które zawierają oba zbiory (moc zbiorów), nad symbolem przestrzeni zdarzeń elementarnych i symbolem zdarzenia losowego zapisujemy dwie poziome kreski: Prawdopodobieństwo samo w sobie nie jest trudne. Największą trudność sprawia obliczenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń i liczby zdarzeń elementarnych spełniających dane zdarzenie losowe. Dopiero wtedy możemy obliczyć rozpatrywanego przykładu, ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń (6) i liczby zdarzeń elementarnych spełniających zdarzenie losowe (3), jest dość proste. W następnych podrozdziałach omówimy różne metody "ustalania" mocy poszczególnych zbiorów.

rachunek prawdopodobieństwa dla leniwych